와이블 분포 (Weibull Distribution)

이 분포는 종종 부품의 고장까지의 시간 혹은 수명 등과 같이 신뢰성과 수명시험 문제에

적용된다.

와이블 분포의 특성

모수인 척도모수(scale parameter)와 형상모수(shape parameter)에 따라 분포의 모양 변함.
특히, 형상모수가 1인 경우 지수 분포(exponential distribution),
          형상모수가 2인 경우 라이레히 분포(Rayleigh distribution)가 된다.

와이블 분포의 용도

⊙ 부품의 수명 추정 분석
⊙ 신뢰성 공학에서 실패 분석
⊙ 산업 현장에서 어떤 제품의 제조에 걸리는 시간

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

와이블 분포 예제

* 어떤 제품의 수명시간 X가 형상모수 2.2, 척도모수 1,200 인 와이블 분포를 따른다고

   할 때, 이 제품이 적어도 1,500 시간 이상 작동할 확률을 구하라.

    > 척도모수 1200, 형상모수 2.2 인 와이블 분포로, 1,500 이상일 확률은 0.19518 이다.

 

F 분포 (F-distribution)

분산이 같은 두 정규모집단으로부터 크기 n1과 크기 n2의 확률표본을 반복하여 독립적으로

추출한 후 구한 두 표본분산의 비율들의 표본분포는 F분포를 따른다. F 확률변수는 다음과

같이 분자의 자유도 (n1-1)이고 분모의 자유도 (n2-1)인 F 분포를 따른다.

F 분포의 특성

⊙ 항상 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가진다.
⊙ 단일 분포가 아닌 모수인 분자의 자유도와 분모의 자유도에 따라 분포의 모양이
     변하는데, 분자의 자유도와 분모의 자유도가 커질 수록 정규분포에 가까워진다.

F 분포의 용도

⊙ 두 모분산의 비교, 추정 및 검정
⊙ 분산분석 및 회귀분석

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

기대값과 분산  (expected value and variance)

F 분포 예제

* F 분포에서 분자의 자유도가 6, 분모의 자유도가 10일 때, 확률이 0.1 일 때의 확률변수

   값을 구하라.

    > 자유도 6, 10 인 F 분포로, 확률이 0.1 이면 F 확률변수값은 2.46058 이다.

* 위의 예제를 양측꼬리로 F 확률변수값을 구하라.

   > 자유도 6, 10 인 F 분포로, 확률이 0.1 이면 F 확률변수값은 0.24631 와 3.21717 이다.

카이제곱 분포 (Chi-square distribution)

정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 무작위로 반복하여 추출하였을 때,

각 표본에 대해 구한 표본분산들은 카이제곱 분포를 따른다. 카이제곱확률변수는

다음과 같이 자유도 (n-1)인 카이제곱 분포를 따른다.

카이제곱 분포의 특성

⊙ 항상 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가진다.
⊙ 단일 분포가 아닌 모수인 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는데, 자유도가 커질 수록
     정규분포에 가까워진다.

카이제곱 분포의 용도

⊙ 모분산에 대한 추정과 검정
⊙ 관측도수가 이론상의 분포 또는 형태를 얼마나 잘 따르는 지에 대한 검증
⊙ 여러 집단 사이의 독립성 검정 (한 특성이 다른 특성에 영향을 미치는 가에 대한 검정)

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

카이제곱 분포 예제

* 카이제곱 분포에서 자유도가 5일 때, 확률이 0.1 일 때의 확률변수값을 구하라.

   > 자유도 5 인 카이제곱 분포로, 확률이 0.1 이면 카이제곱 확률변수값은 9.23635 이다.

* 카이제곱 분포에서 자유도가 3일 때, 확률변수값이 5 일 때의 확률을 구하라.

   > 자유도 3 인 카이제곱 분포로, 카이제곱 확률변수값 5 이면 0.17180 이다.

 

t 분포 (Student's t-distribution)

모평균과 모표준편차를 모르는 정규모집단에서 표본크기가 작은 경우에 모평균에 대한

추정과 검정을 할 경우 t 통계량을 이용하는데, 정규모집단으로 부터 크기 n인 표본을

무작위로 추출했을 때 표본통계량 t 는 자유도 (n-1)인 t 분포를 따른다.

t 분포의 특성

⊙ 표준정규분포와 유사(평균 0 이고 좌우 대칭인 종모양)하지만 표본 표준편차를 사용
     하기에 분산이 더 크다.
⊙ 단일 분포가 아닌 모수인 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는데, 자유도가 커질 수록
     Z분포에 가까워진다.

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

t 분포 예제

* t 분포에서 자유도가 10일 때, 확률이 0.05 일 때의 t 확률변수값을 구하라.

   > 자유도 10 인 t 분포로, 확률이 0.05 이면 t 확률변수값은 1.81245 이다.

* 위의 예제를 양측꼬리로 t 확률변수값을 구하라.

    > 자유도 10 인 t 분포로, 확률이 0.05 일 때 t 확률변수값은 -2.22814 와 2.22814 이다.

정규 분포 (Normal distribution)

각종 자연현상이나 사회현상의 실제 응용에 있어 폭 넓게 사용되는 것으로 연속확률변수를

나타내는 가장 중요한 확률분포이다.

정규 분포의 특징

⊙ 정규곡선은 종모양을 나타낸다.
⊙ 평균을 중심으로 좌우대칭을 이룬다. (평균=중앙치=최빈치)
⊙ 모수인 평균과 분산이 주어지면 정규분포를 나타낼 수 있다.
⊙ 아래와 같이 68-95-99 rule 을 따른다.

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

표준정규분포 (standard normal distribution)

표준정규분포는 정규분포에서 정규확률변수의 평균이 0 이고, 표준편차가 1 인 특별한

경우로 모든 정규확률변수 X는 위의 Z scale를 통해 z-점수(z-score)로 변환할 수 있다.

정규 분포 예제

* A 고등학교 3학년 1반 남학생들의 신장이 평균 170cm, 표준편차 8cm인 정규분포를

   따른다고 한다. 키가 160cm 이하인 학생들의 확률을 구하라.

   > 평균 170cm, 표준편차 8cm 인 정규 분포로, 160cm 이하일 확률은 0.10565 이다.

* 평균이 200이고 표준편차 8인 제품의 규격이 185~215 일 때, 이 제품에 대한 양품률을

   구하라.

    > 평균 200, 표준편차 8인 표준정규 분포로 185~215 일 확률은 0.93921 이다.

연속형 확률분포 (Continuous Probability Distribution)

연속확률변수 (continuous random variable)

일정한 실수구간 내에서 연속적인 값을 취하는 확률변수이다.

예를 들면, 남한강에 새로운 다리를 세우기 위해 남한강의 수심을 측정한다고 하자.

남한강의 수심은 최저 수심에서 최고 수심 사이의 모든 값을 가지게 되므로 연속확률

변수이다.

연속확률분포 (continuous probability distribution)

연속확률분포(함수)는 모든 x값에 대하여 0 이상의 값을 가져야 하고 전체를 적분하면 1

이 되어야 한다.

확률밀도함수 (pdf: probability density function)

연속확률변수(continuous random variable) X가 어떤 구간 내에서 취할 수 있는 무수한 값

x들에 대해서 확률을 대응시키는 함수를 말한다. 연속확률변수의 경우에는 어떤 특정한

값에 대한 확률(=0)은 구할 수 없어 아래에 보이는 것처럼 구간(interval)에 속하는 넓이를

적분하여 확률을 구하게 된다.

기대값과 분산 (expected value and variance)

가장 많이 사용되는 다섯가지 연속형 확률분포에 대하여 분포의 형태 및 확률값을 쉽게 볼 수 있도록 하였습니다.

분포의 종류:

⊙ 정규분포 (Normal Distribution) 

⊙ t 분포 (t-Distribution)

⊙ 카이스퀘어분포 (Chi-square Distribution)

⊙ F 분포 (F Distribution)

⊙ 와이블분포 (Weibull Distribution)