포아송 분포 (Poisson distribution)

시간, 면적 등 지정된 단위 구간에서 확률변수 X (단위 사상의 발생 횟수)가 나타내는 분포임.
⊙ 어느 특정지역에서 하루 동안 발생하는 교통사고 건 수.
⊙ 회사 교환대에 10분 동안 걸려오는 전화의 수.


포아송 확률변수의 조건

⊙ 구간마다 발생하는 사상은 서로 독립이다.
⊙ 사상의 발생 확률은 구간의 길이에 비례한다.
⊙ 아주 작은 구간에서 두 번 이상의 사상이 발생할 확률은 0 이다.



확률질량함수 (pmf: probability mass function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

포와송 분포 예제

* H 회사교환대에는 시간당 평균 60 회의 전화가 걸려온다고 한다. 5분동안 7 회의 전화가
   걸려올 확률을 구하라.

    > 5 분간 평균 5 인 포와송 분포로, 7 회 걸려올 확률은 0.10444 이다.

 

* 어떤 작업장에 투입되는 부품 중 불량품의 수는 일일 평균 6 개인 포아송분포를 따를 때,

   하루 동안 이 작업장에 들어오는 불량품이 8 개 이상일 확률은 구하라.

    > 하루 평균 6 인 포와송 분포로, 불량품이 8 개 이상일 확률은 0.25585 이다.

초기하 분포 (Hypergeometric distribution)

크기 N인 유한 모집단(성공 수 M, 실패 수 N-M)에서 비복원으로 n개의 표본을 취할 때

확률변수 X (표본내 성공횟수) 가 나타내는 분포를 말한다.

확률질량함수 (pmf: probability mass function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

초기하 분포 예제

* 전체 52장인 카드(붉은 색 26장, 검은 색 26장)에서 10장을 뽑을 때, 붉은 색일 7장일
   확률을 구하라.

   > 모집단 52, 모집단내 성공횟수 26, 표본수 10 인 초기하 분포로, 표본내 성공횟수가
       7 인 확률은 0.10811 이다.

* 불량율이 2%이고 크기가 1,000개인 LOT에서 50개의 시료를 추출할 때, 불량개수가 1개
   이하일 확률을 구하라.

   > 모집단 1,000, 모집단내 실패횟수 20, 표본수 50 인 초기하 분포로, 표본내 실패횟수가
       0~1 인 확률은 0.73604  이다.

음이항 분포 (Negative Binomial distribution)

베르누이 시행을 미리 정한 성공횟수 r 회가 될 때까지 반복 시행할 때 확률변수 X (실패횟수
또는 시행횟수)가 나타내는 분포를 말한다.

확률질량함수 (pmf: probability mass function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

음이항 분포 예제

* 동전을 앞면이 2회 나올 때까지 던질 때, 뒷면이 5회 나올 확률을 구하라.

   > 성공횟수 2, 성공확률 0.5 인 음이항 분포로, 2회 성공전 실패횟수가 5 번일 확률은
       0.04688 이다.

* 52장 카드에서 하트가 3장 나올 때까지 뽑을 때, 10장 이하로 뽑을 확률을 구하라.

   > 성공횟수 3, 성공확률 0.25 인 음이항 분포로, 3장 성공까지 시행횟수가 10 번 이하일
      확률은 0.47441 이다.

베르누이 분포 (Bernoulli distribution)

베르누이 시행 (Bernoulli trial, Bernoulli experiment)

시행 결과가 "성공(예)" 또는 "실패(아니오)"의 두 개의 가능한 결과 가운데 하나가 나오는
실험으로, 매 시행 마다 성공확률이 같고 독립적으로 이루어지는 시행을 말한다.

예, 동전의 앞면이 위를 향하는가, (성공: 앞면이 위, 실패: 뒷면이 위)
      주사위의 눈이 3 이상인가, (성공: 눈이 3 이상, 실패: 눈이 2 이하) 등과 같이 가능한
      결과가 두가지인 것.

베르누이 시행 조건

⊙ 각 시행은 두가지 결과(성공 또는 실패) 중 한 가지만 나타난다. 
⊙ 각 시행은 서로 독립이다. 
⊙ 각 시행의 성공확률은 p로 동일하다.

확률질량함수 (pmf: probability mass function)

확률변수 X를 베르누이 실행의 결과라 하면, 즉 성공이면 X=1, 실패이면 X=0 이다.

이 경우 확률변수 X의 확률질량함수는 다음과 같고, 베르누이 분포(Bernoulli distribution)라
한다.

기대값과 분산 (expected value and variance)

이항분포 (Binomial distribution)

베르누이 시행을 n번 반복 시행할 때 확률변수 X (성공횟수)가 나타내는 분포를 말한다.

이항실험의 조건

⊙ 베르누이 시행을 n번 반복한다. 
⊙ n번의 시행은 독립적으로 한다. 
⊙ 확률변수 X는 n번 시행중에서 성공횟수를 나타낸다.

이항 분포의 특징

⊙ 모수인 시행횟수(No of Trials)와 성공확률(Success Probability)로 분포의 모양이 정해짐. 
⊙ 시행횟수가 매우 크고, 성공확률이 작은 경우 이항 분포는 포아송 분포로 근사 가능.

확률질량함수 (pmf: probability mass function)

기대값과 분산 (expected value and variance)

 

이항 분포 예제

 

* 타율이 3할인 야구선수가 열다섯 번 타석에 나와 다섯 번 이상 열번 이하의 안타를 칠
   확률을 구하라.

   > 시행횟수 15, 성공확률 0.3 인 이항 분포로, 5~10 번 성공확률은 0.48384 이다.

 

* 자유투 성공률이 85%인 농구선수가 3점 슛중 반칙을 얻어 세 번의 자유투를 얻었다. 모두
   성공시킬 확률을 구하라.

   > 시행횟수 3, 성공확률 0.85 인 이항 분포로, 3 번 성공확률은 0.61413 이다.

이산형 확률분포 (Discrete Probability Distribution)

이산확률변수 (discrete random variable)

이산확률변수는 셀 수 있는 정수값을 취하는 확률변수이다.

예를 들면, 동전을 던질 때 앞면(head)이 나오는 횟수를 센다고 하자.

앞면의 횟수는 예상할 수 없는 순서로(random process) 나오고 그 횟수는 0과 +무한대
사이의 정수로 나오므로 동전의 앞면의 횟수는 이산확률변수이다.

이산확률분포 (discrete probability distribution)

이산확률분포(함수)는 모든 x값에 대하여 0 이상 1 이하의 값을 가져야 하고 전체를
합하면 1 이 되어야 한다.

확률질량함수 (pmf: probability mass function)

이산확률변수 X가 취할 수 있는 각 실수값 x에 확률을 대응시키는 함수를 일컷는데

모든 값이 그래프 위에서 수직선의 높이(질량)로 표현될 수 있어 질량함수라 부른다.

기대값과 분산 (expected value and variance)

이산형 확률분포중 가장 많이 사용되어지는 아래 네가지 분포에 대하여 보여줍니다.

분포의 종류: 

⊙ 이항분포 (Binomial Distribution) 

⊙ 음이항분포 (Negative Binomial Distribution)

⊙ 초기하분포 (Hypergeometric Distribution)

⊙ 포와송분포 (Poisson Distribution)